Was ist ein Vektor

Ein Vektor ist eine mathematische Größe, die durch zwei Merkmale beschrieben wird:

• Betrag (Länge oder Magnitude)
• Richtung

Man kann sich einen Vektor als einen Pfeil im dreidimensionalen Raum vorstellen, der eine bestimmte Länge und Richtung hat.

Ein Vektor im dreidimensionalen Raum wird üblicherweise durch seine Komponenten entlang der $ x $-, $ y $- und $ z $-Achse beschrieben. Zum Beispiel:

$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} $$

Hierbei sind $ v_x $, $ v_y $ und $ v_z $ die Komponenten des Vektors $ \vec{v} $ in den jeweiligen Richtungen.

Addition von Vektoren

Die Addition von Vektoren erfolgt komponentenweise. Wenn wir zwei Vektoren $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $ haben, die wie folgt definiert sind:

$$ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} $$

Dann ist die Summe der Vektoren $ \vec{a} + \vec{b} $:

$$ \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \\ a_z + b_z \end{pmatrix} $$

Skalarmultiplikation

Ein Vektor kann mit einem Skalar (einer reellen Zahl) multipliziert werden. Wenn $ c $ ein Skalar und $ \vec{v} $ ein Vektor ist, dann ist die Skalarmultiplikation:

$$ c \cdot \vec{v} = c \cdot \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \cdot v_x \\ c \cdot v_y \\ c \cdot v_z \end{pmatrix} $$

Betrag eines Vektors

Der Betrag (oder die Länge) eines Vektors $ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} $ im dreidimensionalen Raum ist durch den Satz des Pythagoras gegeben:

$$ |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} $$

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt (oder innere Produkt) von zwei Vektoren $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $ im dreidimensionalen Raum ist eine reelle Zahl und wird wie folgt berechnet:

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z $$

Das Skalarprodukt ist nützlich, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen.

Winkel zwischen Vektoren

Der Winkel $ \theta $ zwischen zwei Vektoren $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $ kann über das Skalarprodukt bestimmt werden:

$$ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $$

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $ ist ein Vektor, der senkrecht zu beiden Ausgangsvektoren steht. Das Kreuzprodukt wird wie folgt berechnet:

$$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix} $$

Das Kreuzprodukt ist besonders nützlich in der Physik und Geometrie, um Flächen- und Volumenberechnungen durchzuführen.

Fläche berechnen

Schritt 1: Definition der Vektoren

Die Vektoren $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $ seien definiert als:

$$ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} $$

Schritt 2: Berechnung des Kreuzprodukts

Das Kreuzprodukt $ \vec{a} \times \vec{b} $ ist gegeben durch:

$$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix} $$

Schritt 3: Betrag des Kreuzprodukts

Der Betrag des Kreuzprodukts, der die Fläche des Parallelogramms darstellt, wird berechnet als:

$$ A = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(a_2 b_3 - a_3 b_2)^2 + (a_3 b_1 - a_1 b_3)^2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2} $$

Schritt 4: Fläche des Parallelogramms

Somit ist die Fläche $ A $ des Parallelogramms gegeben durch:

$$ A = |\vec{a} \times \vec{b}| $$

Das bedeutet, dass die Fläche des Parallelogramms gleich dem Betrag des Kreuzprodukts der beiden Vektoren ist.

Dreieck

Um die Fläche $ A_D $ eines beliebigen Dreiecks, das von den Vektoren $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $ aufgespannt wird, zu berechnen, wird folgende Formel verwendet:

$$ A_D = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| $$

Zusammenfassung

• Vektoren im dreidimensionalen Raum haben drei Komponenten: $ x $-, $ y $- und $ z $-Richtung.
• Vektoren können addiert und mit einem Skalar multipliziert werden.
• Der Betrag eines Vektors gibt seine Länge an.
• Das Skalarprodukt hilft dabei, den Winkel zwischen Vektoren zu berechnen.
• Das Kreuzprodukt erzeugt einen neuen Vektor, der senkrecht zu zwei gegebenen Vektoren steht.