Hesse'sche Normalenform

Beispiel 1

$E\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 2 \\\ 1 \\\ -2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\\ 1 \\\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0$

Normierter Normalenvektor

$\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$

$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$

Ebene in Hessescher Normalenform aufstellen

$E\colon\; \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\\ 1 \\\ -2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\\ 1 \\\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0$

Beispiel 2

Gegeben sei die Ebene $E$ in Koordinatenform mit:

$ E\colon\; \frac{1}{3} \cdot [2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5] = 0 $

Berechne den Abstand $|d|$ des Punktes $P(2|1|2)$ von der Ebene.

Normierten Normalenvektor berechnen

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\\ -1 \\\ -2 \end{pmatrix}$

$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$

Ebene in Hessescher Normalenform aufstellen

$\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$0

Abstand berechnen

$\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$1

Der Abstand des Punktes $\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$2 von der Ebene $\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$3 beträgt $\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$4 Längeneinheiten.

Interpretation des Ergebnisses

• $\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$5: $\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$6 liegt auf der Ebene $\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$7
• $\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$8: $\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$9 und der Ursprung $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$0 liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$1
• $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$2: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$3 und der Ursprung $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$4 liegen auf der gleichen Seite der Ebene $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$5