Hesse'sche Normalenform

Beispiel 1

$E\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0$

Normierter Normalenvektor

$\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$

$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$

Ebene in Hessescher Normalenform aufstellen

$E\colon\; \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0$

Beispiel 2

Gegeben sei die Ebene $E$ in Koordinatenform mit:

$ E\colon\; \frac{1}{3} \cdot [2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5] = 0 $

Berechne den Abstand $|d|$ des Punktes $P(2|1|2)$ von der Ebene.

Normierten Normalenvektor berechnen

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$

$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$

Ebene in Hessescher Normalenform aufstellen

$E\colon\; \frac{1}{3} \cdot [2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5] = 0$

Abstand berechnen

$ d = |\frac{1}{3} \cdot [2 \cdot 2 - 1 - 2 \cdot 2 - 5]| = |\frac{1}{3} \cdot (-6)| = |-2| = 2 $

Der Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $E$ beträgt $2$ Längeneinheiten.

Interpretation des Ergebnisses

• $d=0$: $P$ liegt auf der Ebene $E$
• $d>0$: $P$ und der Ursprung $O$ liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene $E$
• $d<0$: $P$ und der Ursprung $O$ liegen auf der gleichen Seite der Ebene $E$